Красное-чёрное дерево — различия между версиями
(Создал определение) |
|||
| (не показаны 23 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | = | + | [[File:rbtee_example.png|thumb|top|right|upright=1.2|Пример КЧД]] |
| − | ''Красно-чёрное дерево''(англ. red-black tree) - самобалансирующееся бинарное дерево поиска (англ. Binary Search Tree, BST) со следующими свойствами: | + | |
| − | + | '''Красно-чёрное дерево'''(англ. red-black tree) - самобалансирующееся бинарное дерево поиска (англ. Binary Search Tree, BST) со следующими свойствами: | |
| − | + | ||
| − | + | # Каждая вершина имеет цвет: красный или чёрный | |
| − | + | # Корень дерева - чёрный | |
| − | + | # У каждой нелистовой вершины ровно два ребёнка | |
| − | + | # Все листья чёрные и фиктивные | |
| + | # У красной вершины оба ребёнка чёрные | ||
| + | # Чёрная высота каждой вершины определена корректно | ||
| + | |||
| + | == Чёрная высота == | ||
| + | На пути от любой вершины красно-чёрного дерева до её потомка-листа одинаковое количество чёрных вершин. | ||
| + | |||
| + | '''Чёрная высота вершины $x$''' (Обозначаем $bh(x)$) - количество чёрных вершин на пути от $x$ до любого её потомка-листа, не считая самого $x$. | ||
| + | |||
| + | {{Template:Lemma | ||
| + | |What = Лемма 1 | ||
| + | |Statement = В поддереве вершины $x$ как минимум $2^{bh(x)} - 1$ вершин. | ||
| + | |Proof = | ||
| + | Пусть $c(x)$ - количество вершин в поддереве x. | ||
| + | |||
| + | Индукция по $h(x)$: | ||
| + | * База: $h(x) = 0$ - очевидное отверждение | ||
| + | * Переход: <br/> К потомкам $x$ - $y$ и $z$ применимо предположение индукции. <br/> Заметим также, что $bh(y) \geq bh(x) - 1$ и $bh(z) \geq bh(x) - 1$. <br/> Тогда $c(x) \geq 1 + 2^{bh(y)} - 1 + 2^{bh(z)} - 1 \geq 2^{bh(x) - 1} + 2^{bh(x) - 1} - 1 \eq 2^{bh(x)} - 1$ | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | == Высота красно-чёрного дерева == | ||
| + | |||
| + | {{Template:Lemma | ||
| + | |What = Лемма 2 | ||
| + | |Statement = Если $T$ - красно-чёрное дерево, то $h(T) \leq log_2 (n + 1)$. | ||
| + | |Proof = Из свойств дерева, на любом пути из вершины $x$ в лист красных вершин не больше чёрных. <br/> Отсюда $h(x) \leq 2 bh(x)$. Тогда по Л1 $n \geq 2^{bh(root)} - 1$. <br/> Отсюда $log_2 (n + 1) \geq bh(root) \geq 0.5 \cdot h(root) \rightarrow h(root) \leq 2 \cdot log_2 (n + 1)$ | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | == Вставка == | ||
| + | |||
| + | Рассмотрим, как поддерживать свойства красно-чёрного дереве при операции ''insert''. | ||
| + | |||
| + | Производим вставку элемента в дерево как в любом BST и сразу красим его в красный цвет. | ||
| + | |||
| + | === Тривиальные случаи === | ||
| + | |||
| + | * $x$ - новый корень КЧД. Тогда красим его в чёрный цвет для поддрежания 2 свойства КЧД. | ||
| + | * Наш родитель $p$ - чёрный. Тогда вставка красного листа не нарушает свойств КЧД, а значит ничего делать не нужно. | ||
| + | |||
| + | Теперь если $p$ родитель $x$ оказался красным, то его родитель $gp$ обязан быть чёрным. Посмотрим на "дядюшку" $x$ - $u$. | ||
| + | |||
| + | === Случай 1 === | ||
| + | |||
| + | [[File:rbtee_insert_case1.png|thumb|top|right|Первый случай]] | ||
| + | |||
| + | $u$ - красный (не фиктивный). Тогда красим $u$ и $p$ в чёрный, а $gp$ - в красный. После этого количество чёрных вершин на любом пути, проходящем через $gp$ не изменяется. Но могло нарушиться свойство 4, если родитель $gp$ оказался красным, или свойство 2, если $gp$ оказался чёрным. В первом случае конфликт был поднят выше по дереву - его можно исправить рекурсивно. Во втором случае мы просто красим $gp$ в чёрный цвет. | ||
| + | |||
| + | === Случай 2 === | ||
| + | |||
| + | [[File:rbtee_insert_case2_subcase1.png|thumb|top|left|Подслучай 1]] | ||
| + | |||
| + | $u$ - чёрный (возможно фиктивный). Тогда далее будем считать, что $p$ - левый потомок $gp$. В ином случае дальнейшие действия следует отзеркалить. | ||
| + | |||
| + | Рассмотрим два подслучая: | ||
| + | * $x$ - правый потомок $p$. В таком случае совершаем левое вращение с центром в $p$ и сводим этот случай к следующему ($p$ - новый $x$). | ||
| + | * $x$ - левый потомок $p$. В этом случае совершаем правое вращение с центром в вершине $gp$, предварительно покрасив $gp$ в красный, а $p$ - в чёрный. | ||
| + | |||
| + | [[File:rbtee_insert_case2_subcase2.png|thumb|top|left|Подслучай 2]] | ||
| + | |||
| + | Легко заметить, что при таких действиях количество чёрных вершин на любом пути, проходящем через это поддерево не меняется. Остальные свойства КЧД так же выполняются. В частности, корень поддерева $a$ должен быть чёрным. Теперь дерево сбалансированно. | ||
Текущая версия на 18:46, 15 апреля 2020
Красно-чёрное дерево(англ. red-black tree) - самобалансирующееся бинарное дерево поиска (англ. Binary Search Tree, BST) со следующими свойствами:
- Каждая вершина имеет цвет: красный или чёрный
- Корень дерева - чёрный
- У каждой нелистовой вершины ровно два ребёнка
- Все листья чёрные и фиктивные
- У красной вершины оба ребёнка чёрные
- Чёрная высота каждой вершины определена корректно
Содержание
Чёрная высота
На пути от любой вершины красно-чёрного дерева до её потомка-листа одинаковое количество чёрных вершин.
Чёрная высота вершины $x$ (Обозначаем $bh(x)$) - количество чёрных вершин на пути от $x$ до любого её потомка-листа, не считая самого $x$.
Пусть $c(x)$ - количество вершин в поддереве x.
Индукция по $h(x)$:
- База: $h(x) = 0$ - очевидное отверждение
- Переход:
К потомкам $x$ - $y$ и $z$ применимо предположение индукции.
Заметим также, что $bh(y) \geq bh(x) - 1$ и $bh(z) \geq bh(x) - 1$.
Тогда $c(x) \geq 1 + 2^{bh(y)} - 1 + 2^{bh(z)} - 1 \geq 2^{bh(x) - 1} + 2^{bh(x) - 1} - 1 \eq 2^{bh(x)} - 1$
Высота красно-чёрного дерева
Из свойств дерева, на любом пути из вершины $x$ в лист красных вершин не больше чёрных.
Отсюда $h(x) \leq 2 bh(x)$. Тогда по Л1 $n \geq 2^{bh(root)} - 1$.
Отсюда $log_2 (n + 1) \geq bh(root) \geq 0.5 \cdot h(root) \rightarrow h(root) \leq 2 \cdot log_2 (n + 1)$
Вставка
Рассмотрим, как поддерживать свойства красно-чёрного дереве при операции insert.
Производим вставку элемента в дерево как в любом BST и сразу красим его в красный цвет.
Тривиальные случаи
- $x$ - новый корень КЧД. Тогда красим его в чёрный цвет для поддрежания 2 свойства КЧД.
- Наш родитель $p$ - чёрный. Тогда вставка красного листа не нарушает свойств КЧД, а значит ничего делать не нужно.
Теперь если $p$ родитель $x$ оказался красным, то его родитель $gp$ обязан быть чёрным. Посмотрим на "дядюшку" $x$ - $u$.
Случай 1
$u$ - красный (не фиктивный). Тогда красим $u$ и $p$ в чёрный, а $gp$ - в красный. После этого количество чёрных вершин на любом пути, проходящем через $gp$ не изменяется. Но могло нарушиться свойство 4, если родитель $gp$ оказался красным, или свойство 2, если $gp$ оказался чёрным. В первом случае конфликт был поднят выше по дереву - его можно исправить рекурсивно. Во втором случае мы просто красим $gp$ в чёрный цвет.
Случай 2
$u$ - чёрный (возможно фиктивный). Тогда далее будем считать, что $p$ - левый потомок $gp$. В ином случае дальнейшие действия следует отзеркалить.
Рассмотрим два подслучая:
- $x$ - правый потомок $p$. В таком случае совершаем левое вращение с центром в $p$ и сводим этот случай к следующему ($p$ - новый $x$).
- $x$ - левый потомок $p$. В этом случае совершаем правое вращение с центром в вершине $gp$, предварительно покрасив $gp$ в красный, а $p$ - в чёрный.
Легко заметить, что при таких действиях количество чёрных вершин на любом пути, проходящем через это поддерево не меняется. Остальные свойства КЧД так же выполняются. В частности, корень поддерева $a$ должен быть чёрным. Теперь дерево сбалансированно.
