ДП на подмножествах — различия между версиями
(→Задача о гамильтоновом цикле) |
(→Оптимизация наивного решения с помощью ДП) |
||
| Строка 19: | Строка 19: | ||
Наивное решение заключается в полном переборе всех гамильтонов циклов и выборе из них цикла с наименьшей стоимостью. Количество циклов равно n! (количество перестановок вершин). Решение можно улучшить до O ($\frac {(n-1)!}{2}$), если заметить, что нам не важно из какой вершины начинать обход и в какую сторону обходиь. | Наивное решение заключается в полном переборе всех гамильтонов циклов и выборе из них цикла с наименьшей стоимостью. Количество циклов равно n! (количество перестановок вершин). Решение можно улучшить до O ($\frac {(n-1)!}{2}$), если заметить, что нам не важно из какой вершины начинать обход и в какую сторону обходиь. | ||
====Оптимизация наивного решения с помощью ДП==== | ====Оптимизация наивного решения с помощью ДП==== | ||
| − | + | Заведем массив <code>dp</code> такой, что <code>dp[mask][v]</code> - миннимальная длина пути из 0-й вершины в вершину v, проходящий только по вершинам из множества mask ровно по одному разу. | |
Версия 19:55, 30 апреля 2020
Содержание
Проблема представления подмножеств
Пусть у нас есть некоторое множесьво N = {0, 1, 2, ..., n - 1}, n ≤ 30
Мы хотим получить ответить на вопрос: " Как эффективно хранить и кодировать подмножества N?".
Битовые маски
Что такое битовые маски?
Подмножество будем кодировать с помощью двоичного числа, в котором на i-й позиции стоит 1, если i-й элемент множества входит в это подмножество, и 0 в противном случае.
Напрмер, если есть множество А = {3, 5, 7, 9}, то его подмножество B = {3, 7, 9} можно закодировать с помощью маски 10112 = 1110. Таким образом, если мы будем кодировать подмножества с помощью десятичного числа типа unsigned int, то сможем закодировать любое подмножество, размер которого не больше 32х.
Как работать с множествами, с помощью масок?
Вот так на языке С будет выглядеть функция проверяющая, входит ли элемент множества, стоящий на позиции pos в подмножество с маской mask:
bool elem_in_subset (unsigned int mask, int pos) {
return (mask >> pos) & 1;
}
Похожим образом выглядят функции добавления и удаления элемента из подмножества. Для подсчета количества элементов в подмножестве подйдет функция __builtin_popcount (mask), которая возвращает количество единичных битов в двоичном представлении mask. Пересечение и объединение подмножеств соответсвует побитовому пересечению и побитовому объединению масок, соответствующих данным подмножествам.
ДП на подмножествах
Задача о гамильтоновом цикле
1) Пусть есть неориентированный взвешанный граф (можно считать, что между любыми двумя вершинами есть ребро). Необходимо найти гамильтонов цикл наименьшего веса.
Наивное решение
Наивное решение заключается в полном переборе всех гамильтонов циклов и выборе из них цикла с наименьшей стоимостью. Количество циклов равно n! (количество перестановок вершин). Решение можно улучшить до O ($\frac {(n-1)!}{2}$), если заметить, что нам не важно из какой вершины начинать обход и в какую сторону обходиь.
Оптимизация наивного решения с помощью ДП
Заведем массив dp такой, что dp[mask][v] - миннимальная длина пути из 0-й вершины в вершину v, проходящий только по вершинам из множества mask ровно по одному разу.
