Красное-чёрное дерево

Красно-чёрное дерево(англ. red-black tree) - самобалансирующееся бинарное дерево поиска (англ. Binary Search Tree, BST) со следующими свойствами:

• Каждая вершина имеет цвет: красный или чёрный
• Корень дерева - чёрный
• У каждой нелистовой вершины ровно два ребёнка
• Все листья чёрные и фиктивные
• У красной вершины оба ребёнка чёрные
• Чёрная высота каждой вершины определена корректно

Чёрная высота

На пути от любой вершины красно-чёрного дерева до её потомка-листа одинаковое количество чёрных вершин.

Чёрная высота вершины $x$ (Обозначаем $bh(x)$) - количество чёрных вершин на пути от $x$ до любого её потомка-листа, не считая самого $x$.

Лемма

В поддереве вершины $x$ как минимум $2^{bh(x)} - 1$ вершин.

Доказательство

Пусть $c(x)$ - количество вершин в поддереве x.

Индукция по $h(x)$:

• База: $h(x) = 0$ - очевидное отверждение
• Переход:
  К потомкам $x$ - $y$ и $z$ применимо предположение индукции.
  Заметим также, что $bh(y) \geq bh(x) - 1$ и $bh(z) \geq bh(x) - 1$.
  Тогда $c(x) \geq 1 + 2^{bh(y)} - 1 + 2^{bh(z)} - 1 \geq 2^{bh(x) - 1} + 2^{bh(x) - 1} - 1 \eq 2^{bh(x)} - 1$