Красное-чёрное дерево: различия между версиями

Версия от 20:26, 12 марта 2020

Красно-чёрное дерево(англ. red-black tree) - самобалансирующееся бинарное дерево поиска (англ. Binary Search Tree, BST) со следующими свойствами:

На пути от любой вершины красно-чёрного дерева до её потомка-листа одинаковое количество чёрных вершин.

Чёрная высота вершины $x$ (Обозначаем $bh(x)$) - количество чёрных вершин на пути от $x$ до любого её потомка-листа, не считая самого $x$.

Лемма

В поддереве вершины $x$ как минимум $2^{bh(x)} - 1$ вершин.

Доказательство

Пусть $c(x)$ - количество вершин в поддереве x.

Индукция по $h(x)$:

База: $h(x) = 0$ - очевидное отверждение
Переход:
К потомкам $x$ - $y$ и $z$ применимо предположение индукции.
Заметим также, что $bh(y) \geq bh(x) - 1$ и $bh(z) \geq bh(x) - 1$.
Тогда $c(x) \geq 1 + 2^{bh(y)} - 1 + 2^{bh(z)} - 1 \geq 2^{bh(x) - 1} + 2^{bh(x) - 1} - 1 \eq 2^{bh(x)} - 1$

@@ Строка 11: / Строка 11: @@
 '''Чёрная высота вершины $x$''' (Обозначаем $bh(x)$) - количество чёрных вершин на пути от $x$ до любого её потомка-листа, не считая самого $x$.
+{{Template:Lemma
+|What = Лемма
+|Statement = В поддереве вершины $x$ как минимум $2^{bh(x)} - 1$ вершин.
+|Proof =
+Пусть $c(x)$ - количество вершин в поддереве x.
+Индукция по $h(x)$:
+* База: $h(x) = 0$ - очевидное отверждение
+* Переход: <br/> К потомкам $x$ - $y$ и $z$ применимо предположение индукции. <br/> Заметим также, что $bh(y) \geq bh(x) - 1$ и $bh(z) \geq bh(x) - 1$. <br/> Тогда $c(x) \geq 1 + 2^{bh(y)} - 1 + 2^{bh(z)} - 1 \geq 2^{bh(x) - 1} + 2^{bh(x) - 1} - 1 \eq 2^{bh(x)} - 1$
+}}